CUSUM: una carta de control sensible a las derivas pequeñas y sostenidas

¿Una carta de Shewhart permite detectar una deriva lenta?

Puede hacerlo, pero no es precisamente el tipo de comportamiento frente al cual muestra su mayor sensibilidad. En control estadístico, la elección de la carta importa porque distintos esquemas responden de manera diferente ante cambios abruptos, tendencias graduales, desplazamientos pequeños o aumentos sostenidos de la variabilidad.

En un laboratorio esto tiene consecuencias prácticas. Una balanza puede comenzar a desplazarse lentamente; un electrodo puede perder respuesta con el uso; una curva de calibración puede evidenciar un corrimiento progresivo; un material de control puede mostrar una pequeña diferencia persistente respecto del valor objetivo. En todos estos casos es posible que durante cierto tiempo ningún resultado individual sea suficientemente extremo como para generar una señal clara en una carta convencional de Shewhart.

Ahí es donde una carta CUSUM puede aportar información adicional.

¿Qué es una carta CUSUM?

CUSUM proviene de cumulative sum, o suma acumulada. Su lógica consiste en observar las desviaciones sucesivas de los resultados respecto de un valor objetivo o de referencia y acumularlas en el tiempo.

Si los resultados fluctúan aleatoriamente alrededor del objetivo, las desviaciones positivas y negativas tenderán, en términos generales, a compensarse. Si aparece un desplazamiento persistente, aunque sea relativamente pequeño, esa compensación deja de producirse y la suma acumulada comienza a crecer de manera sostenida en una dirección.

La ventaja conceptual es importante: CUSUM no evalúa cada resultado como si fuese un hecho aislado. Conserva memoria de lo ocurrido previamente. Una secuencia de diferencias pequeñas, que individualmente podría parecer poco relevante, puede transformarse en una señal estadística clara cuando se acumula.

La idea matemática, sin complicarla innecesariamente

Supongamos que el proceso tiene un valor objetivo μ₀ y que obtenemos resultados sucesivos x₁, x₂, .... Una forma elemental de pensar la suma acumulada es:

S_i = S_i-1 + (x_i − μ₀)

Si los resultados permanecen centrados alrededor de μ₀, la suma no debería presentar una tendencia sostenida. Cuando existe un sesgo pequeño pero persistente, los incrementos tienden a conservar el mismo signo y la trayectoria de la suma acumulada comienza a separarse progresivamente de su comportamiento esperado.

En aplicaciones formales suelen utilizarse CUSUM unilaterales, una para desplazamientos positivos y otra para desplazamientos negativos. Una formulación habitual es:

C⁺_i = max[0, C⁺_i-1 + (z_i − k)]

C⁻_i = max[0, C⁻_i-1 + (−z_i − k)]

donde z_i representa, por ejemplo, una desviación estandarizada respecto del objetivo; k es el valor de referencia de la carta y el intervalo de decisión h determina cuándo la acumulación alcanza un nivel que justifica una señal. Estos parámetros no deberían elegirse de manera arbitraria: condicionan directamente la sensibilidad del esquema.

¿Por qué puede detectar antes una deriva pequeña?

Una carta de Shewhart observa principalmente la magnitud de cada resultado individual respecto de límites de control definidos. Si el desplazamiento es grande, suele reaccionar con rapidez. Si el cambio es pequeño, muchos resultados pueden continuar dentro de los límites aun cuando el proceso ya no esté centrado como antes.

CUSUM aprovecha otra información: la persistencia. Diez desviaciones pequeñas en una misma dirección tienen un significado diferente de diez desviaciones que alternan aleatoriamente entre valores positivos y negativos. La acumulación permite representar esa diferencia.

Por esa razón, CUSUM suele resultar especialmente útil cuando interesa detectar desplazamientos sostenidos de magnitud moderada o pequeña, antes de que estos produzcan una observación individual claramente anómala.

Shewhart y CUSUM no compiten: responden a preguntas distintas

No plantearía CUSUM como reemplazo general de una carta de Shewhart. Esa comparación conduce con facilidad a una falsa dicotomía. Las dos herramientas tienen propiedades diferentes y pueden ser complementarias.

• Shewhart es particularmente eficaz para advertir cambios relativamente grandes y repentinos.
• CUSUM aumenta la sensibilidad frente a desplazamientos pequeños y persistentes.
• Una estrategia combinada puede permitir detectar tanto eventos abruptos como procesos de deriva gradual.

La selección depende del comportamiento que se desea vigilar, de la frecuencia de medición, de la estabilidad histórica del proceso, de la magnitud de cambio considerada técnicamente relevante y del costo asociado a una detección tardía o a una falsa alarma.

La sensibilidad de CUSUM no es una propiedad absoluta

Decir que “CUSUM es más sensible” sin especificar las condiciones resulta técnicamente incompleto. Su desempeño depende del diseño de la carta y de las características del proceso.

Entre los elementos que deben considerarse están el valor objetivo, la desviación estándar utilizada para estandarizar los resultados, el valor de referencia k, el intervalo de decisión h, la magnitud del desplazamiento que se desea detectar y la tasa de falsas señales que se está dispuesto a aceptar.

Un CUSUM configurado para detectar un cambio de 0,5 desviaciones estándar no tiene necesariamente el mismo desempeño frente a un desplazamiento de 2 desviaciones estándar. Tampoco resulta razonable comparar cartas diseñadas con distintos criterios sin considerar su longitud promedio de corrida, su probabilidad de señal bajo control y su respuesta frente al cambio de interés.

Un ejemplo sencillo en un laboratorio

Supongamos un material de control con un valor asignado de 100,0 unidades y una desviación estándar histórica suficientemente estable. Durante varios días se obtienen resultados como 100,2; 100,3; 100,4; 100,2; 100,5; 100,4 y 100,3.

Individualmente, ninguno de esos valores tiene por qué resultar alarmante. Incluso todos podrían encontrarse cómodamente dentro de los límites de una carta de Shewhart. Sin embargo, casi todas las desviaciones respecto del objetivo tienen el mismo signo.

Ese patrón contiene información. La pregunta relevante deja de ser “¿algún punto salió fuera de límites?” y pasa a ser “¿existe evidencia acumulada de que el proceso se ha desplazado?”.

CUSUM fue concebida precisamente para responder mejor a esta segunda pregunta.

Aplicaciones posibles en un laboratorio

El interés de CUSUM no se limita a una clase particular de medición. Puede considerarse, con el diseño estadístico apropiado, en situaciones como seguimiento de materiales de control, vigilancia de sesgo en sistemas analíticos, comprobaciones intermedias de equipos, estabilidad de instrumentos, monitoreo de blancos o patrones de verificación y evaluación de procesos donde se sospechen derivas progresivas.

En metrología química puede ser útil, por ejemplo, cuando se busca advertir un cambio sostenido en recuperación, respuesta instrumental, señal de un estándar de control o diferencia respecto de un valor de referencia. En calibración, el mismo principio puede aplicarse al seguimiento de errores o correcciones observadas en verificaciones sucesivas, siempre que los datos sean comparables y el modelo de control haya sido técnicamente justificado.

Antes de construir la carta: asegurar la comparabilidad de los datos

Este punto suele recibir menos atención de la que merece. Ninguna carta de control corrige una serie de datos que no son comparables entre sí.

Antes de interpretar una tendencia conviene verificar que los resultados correspondan a una condición de medición suficientemente estable: mismo procedimiento o procedimiento equivalente, criterios de cálculo consistentes, materiales de control adecuados, condiciones ambientales relevantes bajo control, instrumentos y configuraciones comparables, y una definición clara de qué magnitud o característica se está siguiendo.

Si cambian simultáneamente el lote del material de control, el instrumento, el método de preparación y el analista, atribuir una señal de CUSUM a una “deriva del proceso” puede ser una simplificación injustificada. La estadística detecta estructura en los datos; la interpretación causal exige conocimiento técnico del proceso de medición.

¿Qué ocurre con la incertidumbre de medida?

La incertidumbre de medida y una carta de control cumplen funciones diferentes. La incertidumbre caracteriza la dispersión de valores que pueden atribuirse razonablemente al mensurando bajo un modelo de medición determinado. Una carta CUSUM, en cambio, busca detectar cambios en el comportamiento secuencial de un proceso.

Por ello, una señal de CUSUM no equivale por sí misma a demostrar que la incertidumbre de medida aumentó, ni un resultado dentro de control demuestra que la incertidumbre sea adecuada. Sin embargo, una deriva persistente puede revelar que alguna condición asumida en el modelo de medición ha cambiado y que corresponde investigar su efecto sobre el resultado, el sesgo, la corrección aplicada o la estimación de incertidumbre.

Un punto importante para ISO/IEC 17025

ISO/IEC 17025:2017 no exige el uso de CUSUM como técnica específica. La norma requiere que el laboratorio disponga de procedimientos para hacer seguimiento de la validez de los resultados y que los datos obtenidos sean registrados de manera que puedan detectarse tendencias cuando sea practicable.

La carta CUSUM puede constituir una herramienta apropiada dentro de ese sistema de seguimiento cuando el laboratorio necesita sensibilidad frente a desplazamientos pequeños y sostenidos. Su uso, sin embargo, debe responder a una necesidad real y a un criterio estadístico definido; no debería incorporarse únicamente porque “parece más avanzada” que una carta convencional.

Qué debería definirse antes de implementarla

Una implementación técnicamente seria requiere establecer, como mínimo, cuál es la variable que se controlará, qué valor se considera objetivo, qué variabilidad representa el estado bajo control, qué magnitud de desplazamiento resulta relevante, cómo se fijarán los parámetros de decisión y qué acción se tomará cuando aparezca una señal.

También debe quedar claro qué significa una señal. Una carta de control no identifica automáticamente la causa. Indica que el patrón observado merece investigación. La respuesta puede incluir revisión del instrumento, condiciones ambientales, reactivos, patrones, cálculos, preparación de muestras, competencia del personal o cualquier otra fuente técnicamente plausible.

El error más frecuente: interpretar toda tendencia como una falla

Un gráfico estadístico no reemplaza el juicio técnico. Una acumulación creciente puede deberse a una deriva real, pero también a un cambio intencional en el proceso, una modificación de referencia, un nuevo lote de material, una corrección no incorporada o un cambio sistemático en las condiciones de medición.

La señal es un punto de partida para la investigación, no una sentencia. El objetivo del control estadístico es separar, con criterios definidos, la variación compatible con el comportamiento esperado de aquella que justifica una evaluación adicional.

Una pregunta más útil que “¿tenemos cartas de control?”

En un laboratorio, limitarse a comprobar que existen cartas de control puede convertirse en una verificación documental de escaso valor. La cuestión técnica es diferente:

¿La herramienta de seguimiento utilizada tiene suficiente capacidad para detectar el tipo y la magnitud de cambio que realmente pueden comprometer nuestros resultados?

Si el riesgo principal es un cambio grande y súbito, una carta de Shewhart puede ser suficiente y muy eficiente. Si preocupa una deriva pequeña pero persistente, CUSUM merece consideración. Si ambos fenómenos son relevantes, una estrategia combinada puede resultar más adecuada.

La elección de una carta de control, por tanto, forma parte del diseño del aseguramiento de la validez de los resultados. No es una decisión meramente gráfica ni un requisito administrativo: debe guardar relación con el proceso de medición, con la magnitud del cambio que se pretende detectar y con las consecuencias técnicas de no advertirlo a tiempo.

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En síntesis: CUSUM acumula información de resultados sucesivos y, cuando está correctamente diseñada, puede detectar desplazamientos pequeños y sostenidos que una carta de Shewhart podría tardar más en señalar. Su fortaleza está en la memoria estadística de la secuencia. Su utilidad real, sin embargo, depende de parámetros bien elegidos, datos comparables y una interpretación coherente con el proceso de medición.