¿Puedo multiplicar dos probabilidades bajas para reforzar una conclusión?

Un laboratorio que combina dos resultados "independientes" para reforzar una conclusión está haciendo, en miniatura, lo mismo que se hizo en el juicio de Sally Clark. La aritmética que elevó una probabilidad de 1 en 8.500 a una de 1 en 72.250.000 fue, en sí misma, correcta. Lo que faltó fue verificar si la operación tenía sentido, y responder a la pregunta que realmente importaba. Entender ese caso, paso por paso, es la manera más concreta de entender por qué multiplicar dos probabilidades bajas no siempre produce una conclusión más fuerte.

El juicio y la cifra que lo definió

Entre 1999 y 2003, en el Reino Unido, Sally Clark fue juzgada y condenada por el homicidio de sus dos hijos, cuyas muertes habían sido inicialmente atribuidas al síndrome de muerte súbita del lactante (SIDS). El caso se convirtió, con el tiempo, en una referencia obligada sobre los riesgos de presentar una cifra estadística sin someterla a un control metodológico elemental.

Parte de la evidencia presentada en el juicio se apoyó en una estimación de que la probabilidad de que un hogar con las características socioeconómicas de la familia Clark sufriera una muerte por SIDS era de aproximadamente 1 en 8.500. Esa cifra, por sí sola, no decidió nada. Lo que decidió el curso del juicio fue la operación aritmética que se hizo con ella a continuación.

El cálculo: elevar al cuadrado una probabilidad

A partir de la cifra de 1 en 8.500, se presentó al tribunal el cálculo de elevarla al cuadrado para estimar la probabilidad de que ocurrieran dos muertes por SIDS en la misma familia:

Este valor coincide en orden de magnitud con la cifra de "1 en 73 millones" ampliamente citada en la cobertura del caso, que corresponde a un redondeo de la cifra exacta de 72.250.000. El valor fue presentado como si describiera la rareza de que dos muertes naturales ocurrieran en la misma familia, y de ahí se derivó, en la cobertura del caso y en parte de su recepción pública, la idea de que esa rareza extrema apoyaba fuertemente la hipótesis de homicidio.

La cuenta en sí misma es correcta. Su validez depende, sin embargo, de una condición que en este caso no se verificó antes de presentarla al tribunal.

Primer error: una independencia que nunca se verificó

Elevar al cuadrado 1/8.500 asume que la ocurrencia de una muerte por SIDS en un hijo es estadísticamente independiente de que ocurra en un hermano de la misma familia. Esa independencia no estaba justificada: existen factores genéticos y ambientales compartidos entre hermanos (predisposiciones hereditarias, condiciones del hogar, hábitos de crianza) que correlacionan positivamente el riesgo entre hermanos de la misma familia.

Si ese riesgo está correlacionado, la probabilidad real de una segunda muerte por SIDS, dado que ya ocurrió una primera en la misma familia, es mayor que 1/8.500. El cuadrado exacto de esa cifra subestima, por lo tanto, la probabilidad conjunta real, y lo hace en una magnitud que el cálculo presentado no permitía apreciar.

Aitken y Taroni (2004, cap. 7, §7.1.3), al analizar este tipo de error, citan la imagen de Lord Cairns (1875): varios rayos de luz débiles, combinados, pueden iluminar un rincón que ninguno iluminaría por separado. Esa propiedad de la evidencia combinada es real y útil cuando las piezas son genuinamente independientes. El caso Clark muestra qué ocurre cuando esa condición se asume en lugar de comprobarse.

Segundo error: una pregunta que la cifra nunca respondió

Aitken y Taroni (2004, cap. 7, §7.1.4) identifican en este caso un segundo error, separable del primero, que conviene distinguir con precisión porque corregir uno no corrige automáticamente el otro.

Aun si el cálculo de 1 en 72.250.000 hubiera sido aritméticamente correcto bajo el supuesto de independencia, esa cifra no responde por sí sola a la pregunta relevante para el caso. La pregunta pertinente no era qué tan rara resulta la coincidencia de dos muertes naturales en la misma familia. Era, en cambio, cuál de dos escenarios resulta más probable: dos muertes naturales en la misma familia, o dos homicidios en la misma familia.

Esta es la falacia del condicional transpuesto: presentar la probabilidad de la evidencia bajo la hipótesis de inocencia como si fuera la probabilidad de inocencia dada la evidencia, sin comparar contra la probabilidad de la hipótesis alternativa. Una cifra de 1 en 72.250.000, aunque fuera exacta, no dice nada todavía sobre cuál de las dos hipótesis sostiene mejor lo observado: para eso hace falta estimar también cuán probable era, de antemano, que una madre cometiera dos homicidios sucesivos contra sus propios hijos, un evento también extremadamente infrecuente y que el cálculo original nunca puso en la balanza.

La falacia doble quedó, así, operando sobre la misma pieza de evidencia: corregir solo la independencia, usando una probabilidad conjunta mayor que el cuadrado exacto, habría dejado sin resolver la pregunta de comparación contra la hipótesis de homicidio doble. Corregir solo la comparación, sin corregir la independencia, habría seguido partiendo de una cifra de base subestimada.

El desenlace y la lección que deja

La condena de Sally Clark fue revocada en 2003, tras una segunda apelación. La revisión judicial del caso estableció que el cálculo original era metodológicamente inválido por los dos motivos señalados, no que existiera una cifra alternativa precisa y consensuada para reemplazarlo. Este artículo tampoco transcribe una "cifra corregida única" para la probabilidad conjunta real, porque esa cifra sencillamente no existe como tal: el propio proceso de revisión no la fijó.

La relevancia del caso Clark está en la estructura exacta del error, mucho más que en su desenlace judicial dramático: una estructura que puede reproducirse en cualquier disciplina que combine dos o más piezas de evidencia sin verificar explícitamente su independencia, y que puede repetirse en cualquier informe que presente una probabilidad sin compararla contra la hipótesis alternativa que compite con ella: comparación de fibras de dos prendas distintas, coincidencia en dos características separadas de un mismo documento, dos resultados analíticos sobre la misma muestra obtenidos por métodos relacionados entre sí.

Antes de combinar dos piezas de evidencia, verifique

• Que la independencia entre ambas piezas esté justificada por algo más que la conveniencia del cálculo, con un argumento explícito sobre qué factor común podría correlacionarlas.
• Que, si existe un factor común plausible (origen compartido, procedimiento compartido, condición ambiental compartida), la probabilidad conjunta no se calcule como un simple producto.
• Que la cifra final se compare siempre contra la probabilidad de la hipótesis alternativa, nunca se presente aislada como si respondiera por sí sola a la pregunta del caso.
• Que el informe distinga con claridad la probabilidad de la evidencia bajo una hipótesis de la probabilidad de la hipótesis dada la evidencia, porque confundirlas es, precisamente, la falacia del condicional transpuesto.
• Que ninguna cifra de rareza extrema se traduzca, sin ese paso de comparación, en una afirmación de certeza sobre la causa.

Preguntas frecuentes

¿El error del caso Clark fue solo un error de cálculo?
No. La aritmética de elevar al cuadrado fue correcta una vez aceptado el supuesto de independencia. El error estuvo en no verificar ese supuesto y en no comparar la cifra resultante contra la hipótesis alternativa.

¿Existe una cifra corregida que reemplace al 1 en 72.250.000?
La revisión judicial del caso no fijó una cifra sustituta precisa. Estableció que el cálculo original era inválido por dos motivos distintos, sin proponer un número alternativo consensuado.

¿Este error solo ocurre en casos judiciales?
No. La misma estructura aparece en cualquier informe técnico que combine dos resultados tratándolos como independientes sin verificarlo, o que presente una probabilidad baja como si fuera, por sí sola, prueba de una conclusión.

¿Cómo se llama el error de confundir las dos probabilidades condicionales?
Se conoce como falacia del condicional transpuesto: tratar la probabilidad de la evidencia dada una hipótesis como si fuera la probabilidad de la hipótesis dada la evidencia.

La lección del caso Clark pide aplicar la estadística en la evaluación de evidencia con el mismo rigor que se exige a cualquier otro procedimiento técnico: verificando sus supuestos antes de usarlos, y formulando con precisión la pregunta que la cifra está, en realidad, respondiendo.